¿Qué es funciones racionales?

Funciones Racionales

Una función racional es una función que puede ser expresada como el cociente de dos polinomios. Formalmente, una función racional es de la forma:

f(x) = P(x) / Q(x)

donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x) ≠ 0.

Temas Importantes:

• Dominio: El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores de x que hacen que el denominador Q(x) sea igual a cero. Estos valores son llamados singularidades o asíntotas verticales.

• Asintotas: Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.

  • Asíntotas Verticales: Ocurren donde el denominador Q(x) es cero y el numerador P(x) no es cero.
  • Asíntotas Horizontales: Se determinan comparando los grados de los polinomios P(x) y Q(x). Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es y = (coeficiente principal de P(x)) / (coeficiente principal de Q(x)). Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), no hay asíntota horizontal, pero podría haber una asíntota oblicua.
  • Asíntotas Oblicuas: Ocurren cuando el grado del numerador P(x) es exactamente uno más que el grado del denominador Q(x). Se encuentran realizando la división polinomial de P(x) entre Q(x). El cociente de la división (sin el residuo) define la ecuación de la asíntota oblicua.

• Intersecciones:

  • Intersección con el eje y: Se encuentra evaluando f(0).
  • Intersecciones con el eje x: Se encuentran resolviendo la ecuación P(x) = 0. Estos son los ceros de la función.

• Simplificación: Antes de analizar una función racional, es importante simplificarla factorizando tanto el numerador como el denominador y cancelando factores comunes. La cancelación de factores puede crear "agujeros" (discontinuidades removibles) en la gráfica en los puntos donde el factor cancelado se iguala a cero.

• Graficación: Para graficar una función racional, es útil encontrar el dominio, las asíntotas, las intersecciones y analizar el comportamiento de la función cerca de las asíntotas verticales. El uso de una tabla de valores también ayuda a obtener una imagen más precisa de la gráfica.